考試方式

閉卷

題型結構

計算題、證明題

考試總時長及總分

180分鐘；150分

考試要求、主要內容：

要求考生比較系統地理解高等代數的基本概念和基本理論，掌握高等代數的基本思想和方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力和綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的能力。

考試內容：

（一）多項式

1.一元多項式的整除、最大公因式、帶余除法公式、互素、不可約多項式、因式分解、重因式、根及重根、多項式函數的概念及判別；

2.輾轉相除法求兩個多項式的最大公因式；多項式有重因式的判別方法，實數域、復數域上多項式因式分解定理，有理系數多項式的全部有理根；

3.一些重要定理的證明；運用多項式理論證明有關命題；用多項式函數方法證明有關結論。

（二）行列式

1.n-級排列、對換、n-級排列的逆序及逆序數和奇偶性；

2.n-階行列式的定義，基本性質及常用計算方法；

3.行列式的代數余子式，Vandermonde行列式；

4.Cramer法則解決問題。

（三）線性方程組

1.向量組線性相（無）關的判別及相應齊次線性方程組有（無）非零解的相關向量判別法、行列式判別法；

2.向量組的極大線性無關組性質，向量組之間秩的大小關系定理及其推論，向量組的秩的概念及計算，矩陣的行秩、列秩、秩概念及其行列式判別法和計算；

3.線性方程組有（無）解的判別定理，齊次線性方程組有（無）非零解的矩陣秩判別法、基礎解系的計算和性質、通解的求法；

4.非齊次線性方程組的解法和解的結構定理。

（四）矩陣理論

1.矩陣基本運算、分塊矩陣運算及常用分塊方法并用于證明與矩陣相關的結論；

2.初等矩陣、初等變換及其與初等矩陣；

3.矩陣的逆和矩陣的等價標準形，矩陣可逆的條件及其與矩陣的秩和初等矩陣的關系，伴隨矩陣概念及性質；

4.行列式乘積定理；

5.矩陣的跡、方陣的多項式；

6.矩陣的常用分解，一些特殊矩陣的常用性質；

（五）二次型理論

1.二次型及其標準形、規范形，慣性定理及其應用；

2.實二次型或實對稱矩陣正定、半正定、負定、半負定的概念及判定條件和應用；

3.實二次型在合同變換下的規范形以及在正交變換下的特征值標準型的求法。

（六）線性空間；

1.線性空間、子空間的定義及性質；

2.線性空間中一個向量組的秩及計算方法；

3.線性（子）空間的基和維數，子空間的基擴充定理，生成子空間；子空間的直和、維數公式；

4.線性空間的同構；

5.向量組線性相關或無關及子空間直和等相關結論的綜合證明。

（七）線性變換

1.線性變換定義與運算及其矩陣表示；矩陣的特征多項式和最小多項式及其有關性質；

2.線性變換及其對應矩陣的特征值和特征向量；

3.線性變換及其矩陣的線性無關特征向量的判別和最大個數及特征子空間；線性變換和矩陣可對角化；

4.實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質，矩陣的對角化的判定和計算；

5.矩陣相似的概念及同一個線性變換關于不同基的矩陣之間的關系；Hamilton-Caylay定理；

6.線性變換的不變子空間、核、值域。

（八）λ-矩陣

1.λ-矩陣的初等變換、標準型、行列式因子、不變因子、初等因子及三種因子之間的關系；

2.矩陣的Jordan標準形的存在唯一性定理的證明及其應用。

（九）歐氏空間

1.內積和歐氏空間的定義及簡單性質；歐氏空間的度量矩陣的概念及性質；

2.歐氏空間的標準正交基概念及其求法和性質的證明與應用；

3.子空間的正交以及正交補；

4.正交變換和正交矩陣，對稱變換；線性無關向量組的施密特（Schmidt）正交化方法。

5.實對稱矩陣的正交相似對角化定理及其相應正交矩陣和對角矩陣的求法；用求特征值方法化實二次型為標準形。

參考書目

[1]《高等代數（第五版）》，北京大學數學系前代數小組編，高等教育出版社，2019

[2]《高等代數（第五版）》，張禾瑞、郝鈵新編，高等教育出版社，2007